Zložený úrok
Zložené úročenie úročí aj predchádzajúce úroky; FV = P(1+r)^n.
Prečo to potrebuješ
Zložený úrok vysvetľuje, prečo sa dlh alebo vklad môže meniť nelineárne. Nominálna sadzba, frekvencia úročenia, poplatky a inflácia menia skutočný výsledok.
Predpoklady
- Sadzba je konštantná a úrok sa pripisuje na konci každého obdobia.
- Žiadne dane, poplatky ani zmeny sadzby, ak nie sú uvedené.
- Percentá sa dosadzujú ako číslo (10 znamená 10 %), v prepočte sa delia 100.
Riešený príklad
Situácia
Kamil nastúpil v septembri 2026 na vysokú školu v Brne a potreboval notebook. Strýko mu požičal 1 000 EUR za 8 % ročne. Dohodli sa, že úrok sa pripíše vždy na konci roka a Kamil vráti všetko naraz po troch rokoch, keď dokončí bakalára. Kamil chce vedieť, koľko bude v septembri 2029 dlžiť, aby si z brigády odkladal primeranú sumu.
Zadanie
Istina (principal) 1 000 EUR, sadzba 8 % ročne, úrok sa pripisuje raz ročne, doba 3 roky, medzitým žiadne splátky.
Postup
- Po prvom roku: 1 000 × 1,08 = 1 080 EUR. Úrok 80 EUR sa pripíše k dlhu.
- Po druhom roku: 1 080 × 1,08 = 1 166,40 EUR. Úrok je už 86,40 EUR, lebo sa úročí aj vlaňajších 80 EUR.
- Po treťom roku: 1 166,40 × 1,08 = 1 259,71 EUR. Rovnaký výsledok dá vzorec budúcej hodnoty (future value): FV = 1 000 × 1,08^3 = 1 000 × 1,259712.
- Rozdelené na 36 mesiacov: 1 259,71 / 36 = 34,99 EUR mesačne. Toľko musí Kamil odkladať, aby mal dlh pokrytý.
Výsledok
Dlh v septembri 2029: 1 259,71 EUR.
Čo z toho vyplýva
Kamil si nastaví trvalý príkaz 35 EUR mesačne na samostatný účet. Za 36 mesiacov odloží 1 260 EUR, čo dlh pokryje aj bez úrokov zo sporenia.
Poznámka: Pri jednoduchom úročení by dlžil 1 000 × (1 + 0,08 × 3) = 1 240 EUR. Rozdiel 19,71 EUR je úrok z úroku. Opačný výpočet, z budúcej sumy späť na dnešnú hodnotu, je diskontovanie.
Časté chyby
Počítať P × (1 + r × n) pri viacročnom zloženom úroku
Vzorec P × (1 + r × n) úročí každý rok len pôvodnú istinu. Pri zloženom úročení sa úrok pripíše k istine a ďalší rok sa úročí aj on. Na začiatku je rozdiel malý, s dĺžkou obdobia však rýchlo rastie.
Príklad
Simona si v januári 2026 odložila 5 000 EUR na sporiaci účet s úrokom 3 % ročne a ročným pripisovaním; peniaze chce nechať 10 rokov (daň z úrokov tu vynechávame). Jednoduchým vzorcom vyráta 5 000 × (1 + 0,03 × 10) = 6 500 EUR. Správne je 5 000 × 1,03^10 = 6 719,58 EUR, takže vklad podcení o 219,58 EUR. Pri úvere funguje tá istá chyba opačne: dlžník si myslí, že dlhuje menej, než naozaj dlhuje.
Ako sa tomu vyhnúť
Pri zloženom úroku vždy umocňuj: P × (1 + r)^n, kde n je počet období.
Deliť ročnú sadzbu 12, ale nechať počet rokov (alebo naopak)
Sadzba a počet období musia byť v rovnakej jednotke. Mesačná sadzba patrí k počtu mesiacov, ročná k počtu rokov. Keď sa zmiešajú, výsledok uletí ďaleko na jednu alebo druhú stranu.
Príklad
Keby sa Kamil so strýkom dohodli na mesačnom pripisovaní úroku, správny dlh po troch rokoch je 1 000 × (1 + 0,08/12)^36 = 1 270,24 EUR. Kamil však dosadí mesačnú sadzbu a len 3 obdobia: 1 000 × (1 + 0,08/12)^3 = 1 020,13 EUR, a odkladá si iba na túto sumu. V septembri 2029 by mu chýbalo vyše 250 EUR. Opačná chyba, ročná sadzba a 36 období, dá 1 000 × 1,08^36 = 15 968,17 EUR, čo je zjavný nezmysel.
Ako sa tomu vyhnúť
Pred dosadením si k r aj k n napíš jednotku; ak je r mesačná, n musí byť v mesiacoch.
Zamieňať nominálnu a efektívnu sadzbu
Nominálna sadzba (nominal rate) je číslo z ponuky, napríklad 5,9 % ročne. Ak sa úrok pripisuje mesačne, skutočný ročný rast je vyšší, lebo sa úročia aj mesačné úroky. Ten ukazuje efektívna ročná sadzba (EAR). Poplatky do nej nevstupujú, tie treba pripočítať zvlášť.
Príklad
Erik si v októbri 2026 vyberal pôžičku 10 000 EUR na rok so splatením naraz. Ponuka A: 6,0 % ročne, úrok pripísaný raz ročne. Ponuka B: 5,9 % ročne, úrok pripisovaný mesačne, plus poplatok za spracovanie 100 EUR. Erik vybral B, lebo 5,9 je menej ako 6,0. Efektívna sadzba B je (1 + 0,059/12)^12 − 1 = 6,06 %, úrok za rok 606,22 EUR a s poplatkom 706,22 EUR. Ponuka A stojí 600 EUR, takže Erik preplatí vyše 100 EUR.
Ako sa tomu vyhnúť
Ponuky porovnávaj cez efektívnu ročnú sadzbu a poplatky pripočítaj k úroku ako samostatný náklad.
Hodnotiť výnos bez ohľadu na infláciu
Zložený úrok hovorí, koľko eur budeš mať, nie čo si za ne kúpiš. Ak ceny rastú rýchlejšie než vklad, reálna hodnota peňazí klesá, aj keď suma na účte rastie. Reálny výnos sa počíta ako (1 + r) / (1 + i) − 1, nie ako rozdiel sadzieb.
Príklad
Simona má na účte 5 000 EUR s úrokom 3 % ročne. Po roku vidí 5 150 EUR a teší sa z výnosu. Ak by ceny za ten rok vzrástli o 4 %, jej 5 150 EUR má kúpnu silu 5 150 / 1,04 = 4 951,92 EUR v cenách spred roka. Reálne teda prišla o 0,96 %, nezarobila 3 %. Ak sporí na konkrétny nákup, musí úrok porovnávať s rastom cien, nie s nulou.
Ako sa tomu vyhnúť
Pri dlhšom sporení prepočítaj výsledok na reálnu hodnotu: (1 + r) / (1 + i) − 1.
Hranica dôkazu
Vedieť použiť FV = P(1+r)^n, rozlíšiť nominálnu a efektívnu sadzbu a vysvetliť vplyv inflácie.
Správny výpočet a správne posúdenie, či je vklad reálne výnosný. Na novom scenári bez pomoci.
Výpočet nepredpovedá budúce sadzby ani zaručený výnos.